यदि left(1-frac{2}{x}+frac{4}{x^{2}}right)^{n}, x ≠ 0 के प्रसार में ?

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7.Binomial Theorem

hard

यदि $\left(1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)^{n}, x \neq 0$ के प्रसार में पदों की संख्या $28$ है, तो इस प्रसार में आने वाले सभी पदों के गुणांकों का योग है:

A

$243$

B

$729$

C

$64$

D

$2187$

(JEE MAIN-2016)

Solution

Clearly, number of terms in the expansion of

$\left(1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)^{n}$ is $\frac{(n+2)(n+1)}{2}$ or $^{n+2} C_{2}$

[assuming $\left.\frac{1}{x} \text { and } \frac{1}{x^{2}} \text { distinct }\right]$

$\therefore \frac{(n+2)(n+1)}{2}=28$

$ \Rightarrow $ $(n+2)(n+1)=56=(6+1)(6+2) \Rightarrow n=6$

Hence, sum of coefficients $=(1-2+4)^{6}=3^{6}$

$=729$

Standard 11

Mathematics

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माना $(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-1}+(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-2}(\mathrm{x}+2)+$ $(x+3)^{n-3} \cdot(x+2)^2+\ldots \ldots .+(x+2)^{n-1}$ के प्रसार में $x^r$ का गुणांक $\alpha_r$ है। यदि $\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \alpha_{\mathrm{r}}=\beta^{\mathrm{n}}-\gamma^{\mathrm{n}}, \beta, \gamma \in \mathrm{N}$ है, तो $\beta^2+\gamma^2$ बराबर है ……..

hard

(JEE MAIN-2024)

यदि $n, 1$ से बड़ा पूर्णांक है, तब $a{ – ^n}{C_1}(a – 1){ + ^n}{C_2}(a – 2) + …. + {( – 1)^n}(a – n) = $

medium

(IIT-1972)

पूर्णांकों $n$ तथा $r$ के लिए,

माना $\left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{ }^{ n } C _{ r }, & \text { if } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ तो $k$ का वह अधिकतम मान, जिसके लिए, योगफल $\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}15 \\ k-i\end{array}\right)+\sum_{i=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}12 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}13 \\ k+1-i\end{array}\right)$ का अस्तित्व है, ……….. |

medium

(JEE MAIN-2021)

${C_1} + 2{C_2} + 3{C_3} + 4{C_4} + …. + n{C_n} = $

medium

$\sum_{ k =0}^{20}\left({ }^{20} C _{ k }\right)^{2}$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2021)